OGE-də funksiyaların qrafikləri ilə tapşırıqlar. Master-klass “Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarında funksiyanın törəməsi

Funksiya- bu, iki (və ya daha çox) dəyişəni bir-biri ilə birləşdirən bir şeydir. Başqa sözlə, funksiya ikinci dəyişənin qiymətini bildiyimiz halda bir dəyişəni tapmağa kömək edir. Məsələn, cibimizdə 100 rubl varsa və bir şokolad çubuğu 50 rubla başa gəlirsə, onda biz 2 şokolad ala bilərik. Cibimizdə 200 rubl varsa, o zaman 4 şokolad ala bilərik. Bu halda birinci dəyişən cibimizdə olan məbləğ, ikinci dəyişən isə ala biləcəyimiz şokoladların sayıdır. Bir şokolad çubuğunun qiyməti 50 rubl təşkil edir, bu, nə qədər pulumuzdan asılı deyil, ona görə də bu dəyər sabitdir.

Bu hal üçün funksiya yarada bilərsiniz: y = 50X, Harada saat- cibinizdə pul, X- şokoladların sayı.

Təbii ki, funksiyalar daha mürəkkəb ola bilər. Amma riyaziyyatda OGE tapşırıqlarını həll etmək üçün əsas funksiyaların qrafiklərinin necə göründüyünü bilmək kifayətdir.

1. y = kx + b formasının funksiyası (düz xətt)

Bu funksiyada k Və b bunlar rəqəmlərdir. Funksiya yazıla bilər müxtəlif formalarda: y = x,y = 2x, y = 3x – 4, y = -9x +44, y= və s. Əsas xüsusiyyət x varlığıdır ( X) birinci gücə (yəni bölmədiyimiz bütün hallar X).
Nömrə k bu halda xəttin hansı istiqamətə meyl etdiyini müəyyən edir. Əgər k > 0 , sonra funksiya sağa doğru artır. Əgər k < 0 , sonra funksiya sola doğru artır.

Nömrə b y. Əgər b >0 , onda qrafik başlanğıcdan yuxarı y oxunu kəsir, Əgər b < 0 - aşağıda.

2. y = ax 2 + bx +c (parabola) formasının funksiyası

Bu funksiyada a, b, c- nömrələri. Funksiya müxtəlif formalarda yazıla bilər: y = x 2, y = 3x 2 + 8, y = 2x 2 -4x + 10,y = -x 2 – 9x +1,y =- 7 və s. Əsas xüsusiyyət x kvadratının olmasıdır ( x 2).

Nömrə A parabolanın budaqlarının hansı istiqamətə (yuxarıya və ya aşağıya) yönəldilməsinə cavabdehdir (mən buna xoşbəxt gülüş və kədərli gülüş də deyirəm). Əgər a > 0 , sonra şən gülüş, Əgər a < 0 - kədərli.

Say b parabolanın başlanğıc nöqtəsinin (əyilmə nöqtəsi) hansı istiqamətə (sağ və ya sola) oxa nisbətən yerdəyişməsinə cavabdehdir y. Əgər b > 0 , sonra qrafik sola sürüşdürülür, Əgər b < 0 – sağa.

Nömrə c – bu, qrafikin oxla kəsişmə nöqtəsidir y. Əgər c >0 , onda qrafik oxu ilə kəsişir y mənşədən yuxarı, Əgər c < 0 - aşağıda.

3. y = k/x + b (hiperbola) formasının funksiyası

Bu funksiya xarici görünüşcə düz xətt funksiyasına bənzəyir, istisna olmaqla X məxrəcdədir. Bu, məhz onundur fərqləndirici xüsusiyyət. Nömrə k rüblərdə funksiyanın təşkilinə cavabdehdir, Əgər k > 0 , onda hiperbolanın budaqları birinci və üçüncü rüblərdə yerləşir, Əgər k < 0 , sonra filiallar ikinci və dördüncü rüblərdə yerləşir.

Nömrə A bütün funksiyanın aşağı sürüşməsinə cavabdehdir ( A < 0 ) və ya yuxarı ( a > 0 ).

4. y = a (birbaşa) formasının funksiyası

Bu vəziyyətdə funksiya belə görünür düz, oxa paralel X . Misal üçün saat= 2, bu oxa paralel uzanan düz xəttdir X və oxu ilə kəsişir saat 2-ci nöqtədə.

5. y = √x formasının funksiyası

Bu tip tapşırıqlarda nadir hallarda rast gəlinir, lakin xatırlamaq daha yaxşıdır. Bu praktiki olaraq bir paraboladır, lakin saat əqrəbi istiqamətində 90 0 fırlanır, və həmçinin onun aşağı yarısı yoxdur. Aydın deyilsə, sadəcə şəklə baxın:

Verilmiş $x_0$ nöqtəsində $y = f(x)$ funksiyasının törəməsi, funksiyanın artımının onun arqumentinin müvafiq artımına nisbətinin həddidir, bu şərtlə ki, sonuncu sıfıra meyllidir:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Fərqləndirmə törəmənin tapılması əməliyyatıdır.

Bəzi elementar funksiyaların törəmələri cədvəli

Funksiya	törəmə
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$

Fərqləndirmənin əsas qaydaları

1. Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ funksiyasının törəməsini tapın.

Cəmin (fərqin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Məhsulun törəməsi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ törəməsini tapın

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bölmənin törəməsi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ törəməsini tapın

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi törəmənin hasilinə bərabərdir xarici funksiya daxili funksiyanın törəməsinə

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Törəmənin fiziki mənası

Əgər maddi nöqtə düzxətli hərəkət edirsə və onun koordinatı $x(t)$ qanununa əsasən zamandan asılı olaraq dəyişirsə, bu nöqtənin ani sürəti funksiyanın törəməsinə bərabərdir.

Nöqtə $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ qanununa uyğun olaraq koordinat xətti boyunca hərəkət edir, burada $x(t)$ $t$ anındakı koordinatdır. Hansı anda nöqtənin sürəti $12$-a bərabər olacaq?

1. Sürət $x(t)$-ın törəməsidir, ona görə də verilmiş funksiyanın törəməsini tapaq

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. $t$ zamanın hansı nöqtəsində sürətin $12$-a bərabər olduğunu tapmaq üçün tənliyi qurub həll edirik:

Törəmənin həndəsi mənası

Yada salaq ki, koordinat oxlarına paralel olmayan düz xəttin tənliyini $y = kx + b$ şəklində yazmaq olar, burada $k$ düz xəttin mailliyidir. $k$ əmsalı düz xətt ilə $Ox$ oxunun müsbət istiqaməti arasındakı meyl bucağının tangensinə bərabərdir.

$f(x)$ funksiyasının $х_0$ nöqtəsindəki törəməsi bu nöqtədə qrafikə toxunan $k$ meylinə bərabərdir:

Beləliklə, ümumi bərabərlik yarada bilərik:

$f"(x_0) = k = tanα$

Şəkildə $f(x)$ funksiyasının tangensi artır, ona görə də $k > 0$ əmsalı. $k > 0$ olduğundan, onda $f"(x_0) = tanα > 0$. Tangens ilə $Ox$ müsbət istiqaməti arasındakı $α$ bucaq kəskindir.

Şəkildə $f(x)$ funksiyasına toxunan azalır, buna görə də $k əmsalı azalır< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Şəkildə $f(x)$ funksiyasının tangensi $Ox$ oxuna paraleldir, ona görə də $k = 0$ əmsalı, buna görə də $f"(x_0) = tan α = 0$. $f "(x_0) = 0$ çağırılan $x_0$ nöqtəsi ekstremum.

Şəkildə $y=f(x)$ funksiyasının qrafiki və $x_0$ absissi ilə nöqtədə çəkilmiş bu qrafikə toxunan bir diaqram göstərilir. $f(x)$ funksiyasının $x_0$ nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın.

Qrafikin tangensi artır, buna görə də $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$ tapmaq üçün $Ox$ oxunun tangensi ilə müsbət istiqaməti arasında olan meyl bucağının tangensini tapırıq. Bunun üçün $ABC$ üçbucağına tangens qururuq.

$BAC$ bucağının tangensini tapaq. (Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=0,25$

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Cavab: $0.25$

Törəmə artan və azalan funksiyaların intervallarını tapmaq üçün də istifadə olunur:

Əgər intervalda $f"(x) > 0$ olarsa, o zaman $f(x)$ funksiyası bu intervalda artır.

Əgər $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Şəkildə $y = f(x)$ funksiyasının qrafiki göstərilir. $х_1,х_2,х_3...х_7$ nöqtələri arasında funksiyanın törəməsi mənfi olan nöqtələri tapın.

Cavab olaraq bu nöqtələrin sayını yazın.

Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və x 0 absissası olan nöqtədə ona toxunan nöqtə göstərilir. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın. K 0 K = -0,5 K = 0,5 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5"> 0 K = -0.5 K = 0.5" title="Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. ) və absis ilə nöqtədə ona toxunan x 0. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsində törəməsinin qiymətini tapın. K 0 K = -0,5 K = 0,5."> title="Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki və x 0 absissası olan nöqtədə ona toxunan nöqtə göstərilir. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsindəki törəməsinin qiymətini tapın. K 0 K = -0,5 K = 0,5"> !}

Şəkildə (-1;17) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının törəməsinin qrafiki göstərilir. f(x) funksiyasının azalma intervallarını tapın. Cavabınızda onlardan ən böyüyünün uzunluğunu göstərin. f(x)

intervalda 0, sonra f(x)" title="Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. x 1, x 2, x 3, x 4 nöqtələri arasından tapın. , x 5, x 6 və x 7 f(x) funksiyasının törəməsinin müsbət olduğu nöqtələrdir.Cavab olaraq tapılan nöqtələrin sayını yazın. Əgər intervalda f (x) > 0 olarsa, onda f(x) funksiyası" class="link_thumb"> 8 !}Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 və x 7 nöqtələri arasında f(x) funksiyasının törəməsinin müsbət olduğu nöqtələri tapın. Cavab olaraq tapılan xalların sayını yazın. Əgər intervalda f (x) > 0 olarsa, f (x) funksiyası bu intervalda artır Cavab: 2 intervalda 0, sonra intervalda f(x)"> 0 funksiyası, sonra bu intervalda f(x) funksiyası artır Cavab: intervalda 2"> 0, sonra f(x)" funksiyası başlıq= "On Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 və x 7 nöqtələri arasında o nöqtələri tapın. f(x) funksiyasının törəməsi müsbətdir. Tapılan xalların cavab sayını yazın. Əgər intervalda f (x) > 0 olarsa, f (x) funksiyası"> title="Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 və x 7 nöqtələri arasında f(x) funksiyasının törəməsinin müsbət olduğu nöqtələri tapın. Cavab olaraq tapılan xalların sayını yazın. Əgər intervalda f (x) > 0 olarsa, f(x) funksiyası"> !}

Şəkildə (-9; 2) intervalında müəyyən edilmiş f(x) funksiyasının törəməsinin qrafiki verilmişdir. -8 seqmentinin hansı nöqtəsində; -4 f(x) funksiyasını qəbul edir ən yüksək dəyər? Seqment üzrə -8; -4 f(x)

(-5; 6) intervalında y = f(x) funksiyası müəyyən edilmişdir. Şəkildə y = f(x) funksiyasının qrafiki göstərilir. x 1, x 2, ..., x 7 nöqtələri arasında f(x) funksiyasının törəməsinin sıfıra bərabər olduğu nöqtələri tapın. Cavab olaraq tapılan xalların sayını yazın. Cavab: 3 bal x 1, x 4, x 6 və x 7 ekstremal nöqtələrdir. x 4 nöqtəsində f (x) yoxdur

Ədəbiyyat 4 Cəbr və başlanğıc analiz sinfi. Ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik, əsas səviyyə / Ş. A. Alimov və başqaları, - M.: Təhsil, Semenov A. L. Vahid Dövlət İmtahanı: Riyaziyyatdan 3000 problem. – M.: “İmtahan” nəşriyyatı, Gendenshtein L. E., Erşova A. P., Erşova A. S. 7-11-ci siniflər üçün nümunələrlə cəbr və təhlilin başlanğıclarına əyani bələdçi. – M.: İlexa, Elektron resurs Vahid Dövlət İmtahan tapşırıq bankını açın.