Silindr, silindrik bir səthdən və paralel olaraq yerləşən iki dairədən ibarət bir fiqurdur. Silindr sahəsinin hesablanması riyaziyyatın həndəsi bölməsində olduqca sadə bir şəkildə həll edilə bilən bir problemdir. Bunu həll etmək üçün bir neçə üsul var, nəticədə həmişə bir düstura düşür.

Silindr sahəsini necə tapmaq olar - hesablama qaydaları

Silindr sahəsini tapmaq üçün bazanın iki sahəsini yan səthin sahəsi ilə əlavə etməlisiniz: S = Sside + 2Sbase. Daha ətraflı versiyada bu düstur belə görünür: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Verilmiş həndəsi cismin yan səthinin sahəsi, hündürlüyü və təməlində yerləşən dairənin radiusu bilindikdə hesablana bilər. Bu halda, əgər verilmişdirsə, radiusu çevrədən ifadə edə bilərsiniz. Generatorun dəyəri şərtdə göstərildiyi təqdirdə hündürlüyü tapmaq olar. Bu halda, generatrix hündürlüyə bərabər olacaqdır. Bu cismin yan səthinin düsturu belə görünür: S= 2 π rh.
Baza sahəsi bir dairənin sahəsini tapmaq üçün düsturla hesablanır: S osn = π r 2 . Bəzi məsələlərdə radius verilməsə də, çevrə verilə bilər. Bu düsturla radius olduqca asanlıqla ifadə edilir. С=2π r, r= С/2π. Radiusun diametrinin yarısı olduğunu da xatırlamalısınız.
Bütün bu hesablamaları apararkən π rəqəmi adətən 3.14159-a çevrilmir... Sadəcə hesablamalar nəticəsində əldə edilmiş ədədi dəyərin yanına əlavə etmək lazımdır.
Bundan sonra, bazanın tapılan sahəsini 2-ə vurmalı və nəticədə rəqəmin yanal səthinin hesablanmış sahəsini əlavə etməlisiniz.
Əgər problem silindrin eksenel bölməyə malik olduğunu və onun düzbucaqlı olduğunu göstərirsə, onda həll yolu bir qədər fərqli olacaq. Bu vəziyyətdə, düzbucağın eni gövdənin altındakı dairənin diametri olacaqdır. Şəklin uzunluğu silindrin generatrixinə və ya hündürlüyünə bərabər olacaqdır. Tələb olunan dəyərləri hesablamaq və onları artıq məlum düsturla əvəz etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə, bazanın sahəsini tapmaq üçün düzbucağın eni ikiyə bölünməlidir. Yan səthi tapmaq üçün uzunluq iki radius və π ədədinə vurulur.
Verilmiş həndəsi cismin sahəsini onun həcmi ilə hesablaya bilərsiniz. Bunun üçün V=π r 2 h düsturundan çatışmayan dəyəri çıxarmaq lazımdır.
Silindr sahəsini hesablamaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Siz sadəcə düsturları bilmək və onlardan hesablamalar aparmaq üçün lazım olan kəmiyyətləri əldə etməyi bacarmalısınız.

Silindr (yunan dilindən "roller", "roller" sözlərindən gəlir) silindrik və iki müstəvi adlanan səthlə xaricdən məhdudlaşan həndəsi cisimdir. Bu təyyarələr fiqurun səthi ilə kəsişir və bir-birinə paraleldir.

Silindrik səth kosmosda düz bir xəttdən əmələ gələn səthdir. Bu hərəkətlər elədir ki, bu düz xəttin seçilmiş nöqtəsi əyri boyunca hərəkət edir düz tip. Belə düz xətt generatrix, əyri xətt isə bələdçi adlanır.

Silindr bir cüt əsasdan və yanal silindrik səthdən ibarətdir. Bir neçə növ silindr var:

1. Dairəvi, düz silindr. Belə bir silindrdə istehsal xəttinə perpendikulyar bir baza və bələdçi var və var

2. Maili silindr. Yaradan xətt ilə əsas arasındakı bucağı düz deyil.

3. Fərqli formalı silindr. Hiperbolik, elliptik, parabolik və s.

Silindr sahəsi, eləcə də hər hansı bir silindrin ümumi səth sahəsi, bu rəqəmin əsaslarının sahələrini və yan səthin sahəsini əlavə etməklə tapılır.

Dairəvi, düz silindr üçün silindrin ümumi sahəsini hesablamaq üçün düstur:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Yan səthin sahəsi bütün silindrin sahəsindən bir az daha mürəkkəbdir; generatrix xəttinin uzunluğunu perpendikulyar olan bir müstəvi ilə əmələ gələn hissənin perimetri ilə vurmaqla hesablanır. generatrix xəttinə.

Dairəvi, düz silindr üçün verilmiş silindr bu obyektin inkişafı ilə tanınır.

İnkişaf, hündürlüyü h və uzunluğu P olan, təməlin perimetrinə bərabər olan düzbucaqlıdır.

Bundan belə çıxır yanal sahə silindr süpürmə sahəsinə bərabərdir və bu düsturla hesablana bilər:

Dairəvi, düz silindr götürsək, bunun üçün:

P = 2p R, və Sb = 2p Rh.

Silindr meyllidirsə, yanal səthin sahəsi onun yaradan xəttinin uzunluğunun və bu yaradan xəttə perpendikulyar olan hissənin perimetrinin məhsuluna bərabər olmalıdır.

Təəssüf ki, meylli silindrin yanal səth sahəsini hündürlüyü və əsasının parametrləri baxımından ifadə etmək üçün sadə bir düstur yoxdur.

Silindr hesablamaq üçün bir neçə faktı bilməlisiniz. Əgər müstəvisi olan kəsik əsaslarla kəsişirsə, onda belə bir kəsik həmişə düzbucaqlıdır. Amma bu düzbucaqlılar bölmənin yerindən asılı olaraq fərqli olacaq. Fiqurun əsaslara perpendikulyar olan ox hissəsinin tərəflərindən biri hündürlüyə, digəri isə silindrin əsasının diametrinə bərabərdir. Və belə bir hissənin sahəsi, müvafiq olaraq, düzbucaqlının bir tərəfinin digəri ilə hasilinə, birinciyə perpendikulyar və ya verilmiş bir fiqurun hündürlüyünün və onun əsasının diametrinin məhsuluna bərabərdir.

Bölmə fiqurun əsaslarına perpendikulyardırsa, lakin fırlanma oxundan keçmirsə, bu hissənin sahəsi bu silindrin və müəyyən bir akkordun hündürlüyünün məhsuluna bərabər olacaqdır. Akkord əldə etmək üçün silindrin əsasında bir dairə qurmaq, radius çəkmək və bölmənin yerləşdiyi məsafəni onun üzərinə çəkmək lazımdır. Və bu nöqtədən dairə ilə kəsişməsindən radiusa perpendikulyar çəkmək lazımdır. Kəsişmə nöqtələri mərkəzə bağlıdır. Üçbucağın əsası isə belə səslərlə axtarılan istəniləndir: “İki ayağın kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir”:

C2 = A2 + B2.

Bölmə silindrin əsasına təsir etmirsə və silindr özü dairəvi və düzdürsə, bu hissənin sahəsi dairənin sahəsi kimi tapılır.

Dairənin sahəsi:

S env. = 2п R2.

R-ni tapmaq üçün onun C uzunluğunu 2n-ə bölmək lazımdır:

R = C\2n, burada n pi, çevrə məlumatları ilə işləmək üçün hesablanmış və 3.14-ə bərabər olan riyazi sabitdir.

Silindr əsaslarına perpendikulyar olan eksenel hissənin sahəsini tapın. Bu düzbucağın tərəflərindən biri silindrin hündürlüyünə, ikincisi - əsas dairənin diametrinə bərabərdir. Müvafiq olaraq, bu vəziyyətdə kəsik sahəsi düzbucağın tərəflərinin məhsuluna bərabər olacaqdır. S=2R*h, burada S - kəsiyinin sahəsi, R - məsələnin şərtləri ilə verilən əsas dairənin radiusu, h - silindrin hündürlüyü də məsələnin şərtləri ilə verilir.

Bölmə əsaslara perpendikulyardırsa, lakin fırlanma oxundan keçmirsə, düzbucaqlı dairənin diametrinə bərabər olmayacaqdır. Bunu hesablamaq lazımdır. Bunun üçün problem bölmə müstəvisinin fırlanma oxundan hansı məsafədə keçdiyini söyləməlidir. Hesablamaları asanlaşdırmaq üçün silindrin əsasında bir dairə qurun, bir radius çəkin və dairənin mərkəzindən bölmənin yerləşdiyi məsafəni onun üzərinə çəkin. Bu nöqtədən onların dairə ilə kəsişməsinə perpendikulyar çəkin. Kəsişmə nöqtələrini mərkəzə birləşdirin. Akkordları tapmaq lazımdır. Pifaqor teoremindən istifadə edərək yarım akkordun ölçüsünü tapın. Bərabər olacaq kvadrat kök mərkəzdən kəsik xəttinə qədər dairənin radiusunun kvadratları arasındakı fərqdən. a2=R2-b2. Bütün akkord müvafiq olaraq 2a-ya bərabər olacaqdır. Düzbucaqlının tərəflərinin hasilinə bərabər olan kəsik sahəsini hesablayın, yəni S=2a*h.

Silindr bazanın müstəvisindən keçmədən kəsilə bilər. Kesiti fırlanma oxuna perpendikulyardırsa, o zaman bir dairə olacaqdır. Bu vəziyyətdə onun sahəsi əsasların sahəsinə bərabərdir, yəni S = πR2 düsturu ilə hesablanır.

Faydalı məsləhət

Bölməni daha dəqiq təsəvvür etmək üçün onun üçün bir rəsm və əlavə konstruksiyalar hazırlayın.

Mənbələr:

silindrin kəsişmə sahəsi

Səthin müstəvi ilə kəsişmə xətti həm səthə, həm də kəsici müstəviyə aiddir. Silindrik səthin düz generatrisə paralel kəsici müstəvi ilə kəsişmə xətti düz xəttdir. Kəsmə müstəvisi fırlanma səthinin oxuna perpendikulyar olarsa, kəsik bir dairə olacaqdır. Ümumiyyətlə, silindrik səthin kəsici müstəvi ilə kəsişmə xətti əyri xəttdir.

Sizə lazım olacaq

Qələm, hökmdar, üçbucaq, naxışlar, kompas, sayğac.

Təlimatlar

P₂ proyeksiyalarının frontal müstəvisində kəsik xətti kəsici müstəvinin Σ₂ düz xətt şəklində proyeksiyası ilə üst-üstə düşür.
Silindr generatrislərinin kəsişmə nöqtələrini Σ₂ 1₂, 2₂ və s. proyeksiya ilə təyin edin. 10₂ və 11₂ nöqtələrinə.

P₁ müstəvisində bir dairə var. Σ₂ kəsik müstəvisində qeyd olunan nöqtələr 1₂, 2₂ və s. proyeksiyalı əlaqə xəttindən istifadə edərək bu dairənin konturuna proyeksiya edilir. Onların üfüqi proyeksiyalarını dairənin üfüqi oxuna nisbətən simmetrik olaraq qeyd edin.

Beləliklə, arzu olunan kəsişmənin proyeksiyaları müəyyən edilir: P₂ müstəvisində – düz xətt (1₂, 2₂…10₂ nöqtələri); P₁ müstəvisində – dairə (1₁, 2₁…10₁ nöqtələri).

İkidən istifadə edərək, bu silindrin hissəsinin təbii ölçüsünü frontal proyeksiya müstəvisi Σ ilə qurun. Bunun üçün proyeksiya metodundan istifadə edin.

Σ₂ müstəvisinin proyeksiyasına paralel P₄ müstəvisini çəkin. Bu yeni x₂₄ oxunda 1₀ nöqtəsini qeyd edin. Nöqtələr arasındakı məsafələr 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ və s. kəsiyinin frontal proyeksiyasından onu x₂₄ oxuna yerləşdirin, x₂₄ oxuna perpendikulyar proyeksiya birləşməsinin nazik xətlərini çəkin.

IN bu üsul P₄ müstəvisi P₁ müstəvisi ilə əvəz olunur, buna görə də üfüqi proyeksiyadan ölçüləri oxdan nöqtələrə P₄ müstəvisinin oxuna köçürün.

Məsələn, P₁-də 2 və 3-cü nöqtələr üçün bu, 2₁ və 3₁-dən oxa (A nöqtəsi) və s. məsafə olacaq.

Göstərilən məsafələri üfüqi proyeksiyadan kənara qoyaraq, 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ xallarını alırsınız. Sonra, tikintinin daha çox dəqiqliyi üçün qalan ara nöqtələr müəyyən edilir.

Bütün nöqtələri naxış əyrisi ilə birləşdirərək, ön proyeksiya müstəvisi ilə silindr hissəsinin tələb olunan təbii ölçüsünü əldə edirsiniz.

Mənbələr:

təyyarəni necə əvəz etmək olar

İpucu 3: Kəsilmiş konusun eksenel kəsişmə sahəsini necə tapmaq olar

Həll etmək bu vəzifə, kəsilmiş konusun nə olduğunu və hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu xatırlamaq lazımdır. Bir rəsm çəkdiyinizə əmin olun. Bu, bölmənin hansı həndəsi rəqəmi təmsil etdiyini müəyyən etməyə imkan verəcəkdir. Tamamilə mümkündür ki, bundan sonra problemi həll etmək artıq sizin üçün çətin olmayacaq.

Təlimatlar

Dəyirmi konus, üçbucağın ayaqlarından birinin ətrafında fırlanması ilə əldə edilən bir cisimdir. Apeksdən çıxan düz xətlər konus və onun əsasını kəsənlərə generatorlar deyilir. Bütün generatorlar bərabərdirsə, konus düzdür. Dəyirmi əsasda konus bir dairə yatır. Təpədən bazaya endirilən perpendikulyar hündürlükdür konus. Düz dairədə konus hündürlüyü onun oxu ilə üst-üstə düşür. Ox, təməlin mərkəzinə birləşdirən düz bir xəttdir. Bir dairənin üfüqi kəsici təyyarəsi varsa konus, onda onun yuxarı bazası dairədir.

Məsələ ifadəsində bu halda verilən konus olduğu göstərilmədiyindən belə nəticəyə gəlmək olar ki, bu, üfüqi hissəsi bazaya paralel olan düz kəsilmiş konusdur. Onun eksenel bölməsi, yəni. dairənin oxundan keçən şaquli müstəvi konus, bərabərtərəfli trapesiyadır. Hamısı eksenel bölmələr dairəvi düz konus bir-birinə bərabərdirlər. Buna görə də tapmaq kvadrat eksenel bölmələr, tapmaq lazımdır kvadrat trapesiya, onun əsasları kəsilmiş əsasların diametrləridir konus, yan tərəflər isə onun tərkib hissələridir. Frustum hündürlüyü konus həm də trapezoidin hündürlüyüdür.

Trapezoidin sahəsi düsturla müəyyən edilir: S = ½(a+b) h, burada S – kvadrat trapesiya; a - trapezoidin aşağı əsasının ölçüsü; b - onun yuxarı əsasının ölçüsü; h - trapezoidin hündürlüyü.

Şərtdə hansının verildiyi göstərilmədiyi üçün kəsilmiş təməllərin hər iki əsasının diametrinin konus məlumdur: AD = d1 – kəsilmiş alt bazanın diametri konus;BC = d2 – onun yuxarı əsasının diametri; EH = h1 – hündürlük konus.Beləliklə, kvadrat eksenel bölmələr kəsilmiş konus müəyyən edilir: S1 = ½ (d1+d2) h1

Mənbələr:

kəsilmiş konusun sahəsi

Silindr məkan fiqurudur və ikidən ibarətdir bərabər əsaslar, dairələri və əsasları məhdudlaşdıran xətləri birləşdirən yanal səthi təmsil edir. Hesablamaq üçün kvadrat silindr, onun bütün səthlərinin sahələrini tapın və onları toplayın.

Silindrlərin hər bir əsasının sahəsi π-dir r 2, hər iki əsasın sahəsi 2π olacaq r 2 (şək.).

Silindrlərin yan səthinin sahəsi bazası 2π olan düzbucaqlının sahəsinə bərabərdir. r, hündürlüyü isə silindrin hündürlüyünə bərabərdir h, yəni 2π rh.

Silindirin ümumi səthi olacaq: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Silindrlərin yan səthinin sahəsi götürülür süpürmə sahəsi onun yan səthi.

Buna görə də, sağ dairəvi silindrin yan səthinin sahəsi müvafiq düzbucaqlının sahəsinə bərabərdir (Şəkil) və düsturla hesablanır.

S b.c. = 2πRH, (1)

Onun iki əsasının sahəsini silindrin yan səthinin sahəsinə əlavə etsək, silindrin ümumi səth sahəsini alırıq.

S dolu =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Düz silindrin həcmi

Teorem. Düz silindrin həcmi onun əsasının və hündürlüyünün sahəsinin məhsuluna bərabərdir , yəni.

burada Q bazanın sahəsi, H isə silindrin hündürlüyüdür.

Silindr təməlinin sahəsi Q olduğundan, Q sahələri olan əhatəli və yazılı çoxbucaqlıların ardıcıllığı var. n və Q' n belə

\(\lim_(n \sağ ox \infty)\) Q n= \(\lim_(n \sağ ox \infty)\) Q' n= Q.

Əsasları yuxarıda müzakirə edilən və təsvir edilmiş çoxbucaqlılar olan və yan kənarları verilmiş silindrin generatrisinə paralel olan və H uzunluğunda olan prizmaların ardıcıllığını quraq. Onların həcmləri düsturlarla tapılır

V n=Q n H və V' n= Q' n H.

Beləliklə,

V= \(\lim_(n \sağ ox \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \sağ ox \infty)\) Q' n H = QH.

Nəticə.
Düz dairəvi silindrin həcmi düsturla hesablanır

V = π R 2 H

burada R bazanın radiusu, H isə silindrin hündürlüyüdür.

Dairəvi silindrin əsası R radiuslu dairə olduğundan, Q = π R 2 və buna görə də

Silindr iki paralel müstəvi və silindrik səthlə məhdudlaşan həndəsi cisimdir. Məqalədə silindrin sahəsini necə tapmaq barədə danışacağıq və düsturdan istifadə edərək, nümunə olaraq bir neçə problemi həll edəcəyik.

Silindr üç səthə malikdir: üst, əsas və yan səth.

Silindrlərin üstü və bazası dairələrdir və onları müəyyən etmək asandır.

Məlumdur ki, dairənin sahəsi πr 2-ə bərabərdir. Buna görə də, iki dairənin sahəsi üçün düstur (silindr üstü və bazası) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 olacaqdır.

Silindirin üçüncü, yan səthi silindrin əyri divarıdır. Bu səthi daha yaxşı təsəvvür etmək üçün onu tanınan bir forma almaq üçün çevirməyə çalışaq. Təsəvvür edin ki, silindr adidir qalay, üst örtüyü və ya altlığı olmayan. Yan divarda konservanın yuxarısından aşağısına qədər şaquli bir kəsik edək (şəkildə 1-ci addım) və yaranan rəqəmi mümkün qədər açmağa (düzləşdirməyə) çalışaq (2-ci addım).

Yaranan banka tam açıldıqdan sonra tanış bir rəqəm görəcəyik (3-cü addım), bu düzbucaqlıdır. Düzbucaqlının sahəsini hesablamaq asandır. Ancaq bundan əvvəl, bir anlığa orijinal silindrə qayıdaq. Orijinal silindrin təpəsi bir dairədir və bilirik ki, çevrə aşağıdakı düsturla hesablanır: L = 2πr. Şəkildə qırmızı rənglə qeyd olunub.

Silindirin yan divarı tam açıldıqda, çevrənin yaranan düzbucağın uzunluğuna çevrildiyini görürük. Bu düzbucağın tərəfləri çevrə (L = 2πr) və silindrin hündürlüyü (h) olacaqdır. Düzbucaqlının sahəsi onun tərəflərinin məhsuluna bərabərdir - S = uzunluq x en = L x h = 2πr x h = 2πrh. Nəticədə, silindrin yanal səthinin sahəsini hesablamaq üçün bir düstur aldıq.

Silindrlərin yan səthinin sahəsi üçün düstur
S tərəfi = 2πrh

Silindrlərin ümumi səth sahəsi

Nəhayət, hamının sahəsini toplasaq üç səth, silindrin ümumi səth sahəsi üçün düstur alırıq. Silindr səthinin sahəsi silindrin yuxarı hissəsinin sahəsinə + silindrin əsasının sahəsinə + silindrin yan səthinin sahəsinə və ya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bəzən bu ifadə 2πr (r + h) düsturu ilə eyni şəkildə yazılır.

Silindrlərin ümumi səth sahəsi üçün düstur
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindrin radiusu, h – silindrin hündürlüyü